Sheaf
层（Sheaf）是一个很有趣的数学概念。给定一个拓扑空间\(X\)，我们可以考虑给这个拓扑空间附加一些额外的信息。比如，我们可以考虑\(X\)上的任何光滑函数，可以是定义在整个\(X\)上的，也可以是定义在\(X\)的某一个开集上的，我们可以把这些定义在开集上的光滑函数称为一个层\(\mathscr{F}\)。
Spin Structure
Clifford代数
在讲自旋之前，我们首先需要关于Clifford代数的一些基本知识。Clifford代数的定义大致有两种，一种是比较抽象的偏数学的定义，在这里我们并不打算讨论这种抽象的定义方式。另外一种是比较具体的，或者说是比较物理的定义，最早是由狄拉克给出的并且仍然在所有量子场论的教科书中使用的定义方式，我们这里将采取这种。
霍普夫映射与四元数
霍普夫映射(Hopf map)
霍普夫映射是一个四维球面到三维球面的一个映射\(h:S^3 \rightarrow S^2\)满足： \[h(a,b,c,d) = (a^2 + b^2 -c^2 -d^2 , 2(ad +bc),
2(bd - ac)),\] 其中\((a,b,c,d)\)是四维单位球面上的坐标，满足\(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 =
1\)，
SOS Model
Model
\[H_{S O S}=\sum_{\langle x, y\rangle}
V\left(\left|h_{x}-h_{y}\right|\right)\] where \(h_{x}\) is integer.