Cold Atom: Bragg spectroscopy (布拉格光谱学) - 基本理论

自上世纪80年代末以来，布拉格(Bragg) 散射和光谱学已经在超冷原子气体领域得到了应用。布拉格光谱学不仅能够揭示气体的单粒子谱，还能够揭示气体的集体模式谱。 在1999年，文献[1]和[2]是将布拉格光谱学应用于玻色-爱因斯坦凝聚体研究的第一批实验。在2008年，文献[3]第一次利用Bragg光谱学来测量费米气体的动态 \(S(k,\omega)\) 和静态 \(S(k)\) 结构因子。动态和静态结构因子 \(S(k,\omega)\) 和 \(S(k)\) 实际上包含了关于单粒子和集体激发的信息。 在超冷原子气体以外的其他系统中，各种类型的散射方法都被广泛用来确定动态和静态结构因子。例如，在液态氦的情况下，静态结构因子可以通过X射线和中子散射来测量。

在超冷原子的布拉格光谱实验中，一般将两束激光对准原子云团，这两束激光是非共振的，并且彼此间具有特定的夹角和频率差。当这两束非共振激光照射到原子云时，会破坏原有的热力学平衡状态，进而诱发原子密度发生变化。形象地说，实验中一部分原子经历了一个双光子布拉格过程：这些原子首先从一束激光中吸收一个光子，接着通过受激辐射向另一束激光释放一个光子。由于两束激光之间的动量和能量不匹配，这一吸收和发射过程使得原子自身的能量和动量发生了变化。

Bragg光谱学在概念上与射频光谱学有两个不同之处：

• 首先，它不会改变粒子的内部状态；
• 其次，它会给粒子带来一定的动量变化。在RF光谱学中，初始态对应于算符 \(\hat{c}^\dagger_{kg}\)，而最终态对应于\(\hat{c}^\dagger_{ke}\). 而在Bragg光谱学中，初始态对应于 \(\hat{c}^\dagger_{kg}\)，最终态则对应于 \(\hat{c}^\dagger_{k+q,g}\)，其中 \(q\) 是在Bragg过程中给气体的动量。

一般来说，Bragg过程会给系统给出一个微扰项： \[\hat{H}_{\rm br}(t)=\int d^3r\ V_{\rm br}(\mathbf{r},t) \hat{n}(\mathbf{r}).\] 其中 \(V_{\rm br}(\mathbf{r},t)\) 是 Bragg 光所产生的 source term，它耦合到了原子气的密度算符上去，表示了 Bragg 过程所引起的原子气体的密度响应。由于 Bragg 过程中的两束光具有相同的偏振，会相互干涉，因此它所产生的外势场如下式所示是随时间变化的： \[\begin{aligned} V_{\mathrm{br}}(r,t)& =V_0\cos(\omega_\text{br}t-k_\text{br}\cdot r) \\ &=\frac{V_0}2\left[ \mathrm{e}^{i(\omega_\mathrm{br}t-\mathbf{k}_\mathrm{br}\cdot\mathbf{r})}+\mathrm{e}^{-i(\omega_\mathrm{br}t-\mathbf{k}_\mathrm{br}\cdot\mathbf{r})} \right], \end{aligned}\] 这里的 \(V_0\) 是含时外势场的振幅，\(\omega_\mathrm{br}\) 和 \(\mathbf{k}_\mathrm{br}\) 分别是两束光的波矢差和角频率差。

在最初的情况下，原子气体是处于平衡态的。当加上这个扰动之后，系统的密度分布将会出现响应而发生变化 \(\delta n(\mathbf{r},t)\)，也就是会偏离原先平衡态下的均匀分布。当扰动足够小的时候，线性响应理论就会给出如下的密度变化： \[ \delta n( \mathbf{r},t) = \int \mathrm{d}^3 \mathbf{r}' \int \mathrm{d}t' \ \chi_{nn}(\mathrm{r}-\mathrm{r}',t-t')V_{\mathrm{br}}(\boldsymbol{r}',t'), \] 当然，在频率空间中会更加地简单：\(\delta n(k,\omega)=\chi_{nn}(k,\omega)V_{\mathrm{br}}(k,\omega)\). 这里的 \(\chi_{nn}(k,\omega) = \langle [\hat{n}(k),\hat{n}(−k)]\rangle\) 就是密度-密度响应函数。

这里密度的变化在实验上是一个可观测量，进而可以知道密度-密度响应函数。再根据大名鼎鼎的涨落耗散定理 \[\mathrm{Im}\Big[\chi_{nn}(k,\omega)\Big]=-\pi n_0\Big(1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}\Big)S(k,\omega),\] 我们就可以得到结构因子的结果。

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• [1] M. Kozuma, L. Deng, E. W. Hagley, etc, "Coherent splitting of Bose–Einstein condensed atoms with optically induced Bragg diffraction". Phys. Rev. Lett. 82, 871–875 (1999).
• [2] J. Stenger, S. Inouye, etc, "Bragg spectroscopy of a Bose–Einstein condensate". Phys. Rev. Lett. 82, 4569–4573 (1999).
• [3] G. Veeravalli, E. Kuhnle, P. Dyke, and C. J. Vale, "Bragg spectroscopy of a strongly interacting Fermi gas". Phys. Rev. Lett. 101, 250403 (2008).