复流形的形变

对于一个偶数维的流形\(M\)，我们可以赋予其一个(Almost)复结构\(I \in \Lambda M^1 \otimes TM^1\): \[I:TM \rightarrow TM,\] 这是一个切空间自身的同构映射，并且满足\(I^2=-1\)。因此如果我们考虑复化的切空间，我们可以利用\(I\)的本征值\(\pm i\)将其分为全纯部分与反全纯部分。比如说，考虑一组全纯坐标\(z^{\mu} = x^{\mu} + i y^{\mu}\)的话，那么复结构在这组坐标下满足： \[J \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} = \frac{\partial}{\partial y^{\mu}},\quad J \frac{\partial}{\partial y^{\mu}} = -\frac{\partial}{\partial x^{\mu}},\] 或者： \[J \frac{\partial}{\partial z^{\mu}} = i \frac{\partial}{\partial z^{\mu}},\quad J \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{\mu}} = -i \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{\mu}}.\]

通常来讲，这个复结构必须要能够扩展到整个复流形上才可以，也就是要满足所谓的可积条件，也就是\(I\)和自身的李括号为零。这里我们假定\(I\)是可积的，那么给定了一个\(I\)就给定了流形上的一个复结构。我们此处感兴趣的是给定流形\(M\)上的所有不等价的复结构，因此我们需要考虑流形之间的微分同胚映射。考虑两个不同的复流形\((M,I)\)以及\((M',I')\)，并且存在一个微分同胚映射\(F:M\rightarrow M'\)，我们记映射的Jacobi矩阵为\(dF \in \Lambda M^1 \otimes TM'^1\)，它会把\(M\)上的一个矢量映射为\(M'\)上相对应的矢量。那么如果两个流形的复结构满足\(dF \circ I = I' \circ dF\)的话，那么这两个我们就称这两个流形是同构的。同样地，如果对于给定的流形\(M\)，如果有两个不同的复结构\(I\)和\(I'\)，它们两者是可以通过一个自同构映射\(F\)联系起来的： \[I' = dF \circ I \circ (dF)^{-1},\] 那么我们就称这两个复结构\(I\)和\(I'\)是等价的。

接下来我们就可以定义复流形\(M\)的模空间。定义一个集合\(\mathcal{A}(M)\)为\(M\)上的所有可积复结构的集合，那么\(M\)的模空间则定义为\(\mathcal{M} = \mathcal{A}(M)/\sim\)，其中等价类\(\sim\)是上述微分同胚所诱导的。令人惊讶的是，模空间实际上也是一个流形，并且在数学物理里面有很大的作用。接下来我们考虑一个最自然的问题，即模空间作为一个流形来讲，它的维度是多少？为了探究它的维度，我们需要考虑模空间\(\mathcal{M}\)任意一点上的切空间，或者说给定复结构\(I\)，它的不等价的无穷小形变是多少维的。

为了考虑这个问题，我们把\(M\)上的复化切空间分解为全纯部分和反全纯部分\(T_{\mathbb{C}}M = TM^{1,0} \oplus TM^{0,1}\)，并且\(I\)在\(TM^{1,0}\)和\(TM^{0,1}\)上的本征值分别为\(i\)和\(-i\)。令\(I(t)\)为一个连续的可积复结构的家族，并且满足\(I(0)=I\)。那么对于任何\(t\)，复化切空间可以根据复结构\(I(t)\)分解为\(T_{\mathbb{C}}M = TM_t^{1,0} \oplus TM_t^{0,1}\)。现在我们考虑\(t\)是无穷小的情况，也就是说让复结构经历一个无穷小的变换。在这个无穷小变换下，原先为全纯的切矢量会混合一小部分反全纯的分量，从而在新的复结构下保持全纯。因此我们引入\(\phi(t) \in \Lambda M^{0,1}(TM^{1,0})\)（切矢量取值的微分形式）满足： \[\phi(t): TM^{0,1} \rightarrow TM^{1,0}\quad \textrm{使得}: v+\phi(t)(v) \in TM^{0,1}_{t},\] 其中\(v\in TM^{0,1}\)是任意反全纯的切矢量。对于\(t\)非常小的时候，我们可以考虑级数展开： \[\phi(t) = \phi_1 t + \phi_2 t^2 + \cdots,\] 其中\(\phi_i \in \Lambda M^{0,1}(TM^{1,0})\)。接下来，为了由\(\phi(t)\)给出的新的复结构仍然是可积的，我们需要验证： \[ \left[ TM^{0,1}_t , TM^{0,1}_t \right] \subset TM^{0,1}_t,\] 也就是反全纯（或者全纯）切矢量的李括号仍然是反全纯（或者全纯）。

我们可以把上述可积性条件利用\(\phi(t)\)表示出来。实际上，我们可以将李括号的从切矢量扩展到所有切矢量取值的微分形式上： \[[\quad,\quad]: \Lambda^{m,n}(T_p) \times \Lambda^{p,q}(T_p) \rightarrow \Lambda^{m+p,n+q}(T_p),\] 使得对于\(\alpha = \alpha_I \otimes v_I\)，与\(\beta = \beta_J \otimes w_J\)，两者之间的李括号满足： \[ [\alpha , \beta ] = \alpha_I \wedge \beta_J [v_I , w_J].\] 接下来将\(\phi\)写为分量形式（我们把之后的\(t\)省略掉）： \[\phi = \phi_{ij} d \bar{z}_i \otimes \frac{\partial}{\partial z_j},\] 那么可积性条件为： \[\left[ \frac{\partial}{\partial \bar{z}_i} + \phi_{ik} \frac{\partial}{\partial z_k} , \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} + \phi_{jl} \frac{\partial}{\partial z_l} \right] \in T_t^{0,1},\] 进一步可以写为： \[\left( \left[ \frac{\partial}{\partial \bar{z}_i} , \phi_{jk} \frac{\partial}{\partial z_k} \right] + \left[\phi_{ik} \frac{\partial}{\partial z_k} , \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} \right] + \left[ \phi_{ik} \frac{\partial}{\partial z_k} , \phi_{jl} \frac{\partial}{\partial z_l} \right] \right) \in T_t^{0,1}.\] 利用李括号的性质，例如 \[\left[ \frac{\partial}{\partial \bar{z}_i} , \phi_{jk} \frac{\partial}{\partial z_k}\right] = \frac{\partial \phi_{jk}}{\partial \bar{z}_i} \frac{\partial}{\partial z_k},\quad \left[\phi_{ik} \frac{\partial}{\partial z_k} , \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} \right] = -\frac{\partial \phi_{ik}}{\partial \bar{z}_j} \frac{\partial}{\partial z_k},\] 我们有： \[\begin{aligned} &\left[ \frac{\partial}{\partial \bar{z}_i} , \phi_{jk} \frac{\partial}{\partial z_k} \right] + \left[\phi_{ik} \frac{\partial}{\partial z_k} , \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} \right] \nonumber \\ =&\left(\frac{\partial \phi_{jk}}{\partial \bar{z}_i} -\frac{\partial \phi_{ik}}{\partial \bar{z}_j}\right) \frac{\partial}{\partial z_k} \nonumber \\ =& (\bar{\partial}\phi) \left(\frac{\partial}{\partial \bar{z}_i} , \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} \right),\end{aligned}\] 其中\(\bar{\partial}\phi \in \Lambda M^{0,2}(TM^{1,0})\)。另一方面，我们有： \[\left[ \phi_{ik} \frac{\partial}{\partial z_k} , \phi_{jl} \frac{\partial}{\partial z_l} \right] = [\phi , \phi]\left(\frac{\partial}{\partial \bar{z}_i} , \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} \right),\] 因此可积性条件可以写为： \[((\bar{\partial}\phi) + [\phi , \phi]) \left(\frac{\partial}{\partial \bar{z}_i} , \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} \right) \in T_t^{0,1}.\] 但是方程左边是属于\(T^{1,0}\)的，而当\(t\)十分小的时候\(T^{0,1}_t\)占据主导地位的是\(T^{0,1}\)分量，因此两者不属于同一个空间，唯一的可能是在\(t\)十分小的时候： \[(\bar{\partial}\phi) + [\phi , \phi] = 0.\] 这个被称为Maurer-Cartan方程。如果我们考虑关于\(t\)的级数展开\(\phi = \phi_i t^i\)，那么上述方程可以写为一系列的递推方程： \[\begin{aligned} &t^1: \quad 0 = \bar{\partial} \phi_1, \nonumber \\ &t^2: \quad 0 = \bar{\partial} \phi_2 + [\phi_1,\phi_1] \nonumber \\ &\cdots\end{aligned}\] 如果我们只考虑无穷小变换的话，或者模空间的切矢量，那么第一个方程就足够了，它告诉我们\(\phi_1\in \Lambda M^{0,1}(TM^{1,0})\)作为一个反全纯1-形式场，必须是闭的。

因此对于任意\(\Lambda M^{0,1}(TM^{1,0})\)中的一个闭的元素，我们都可以构造出\(\phi_1\)，也就是模空间的一个切矢量，并且通过递推关系式得到其余的\(\phi_i\)。但是我们仍然需要探究在什么情况下，两个\(\phi_1\)在微分同胚的意义下给出同样的切矢量场。

我们假设\(F_t\)是\(M\)上的一个单参微分同胚群，我们考虑在\(t=0\)时上述单参微分同胚群生成的切矢量场，记为\(F_i \frac{\partial}{\partial x^i}\)。详细地来说，在\(M\)上的任一点\(p\)，我们可以考虑一条轨道曲线\(F_t(p)\)，它在\(t=0\)点的切矢量对应的就是上述切矢量场在\(p\)点的取值。我们将上述矢量场记为： \[\frac{d F_t}{d t}|_{t=0} = F_i \frac{\partial}{\partial x^i} \in \Lambda M^{0}(TM),\] 这里的\(\Lambda M^{0}(TM)\)意味切矢量取值的0-形式场，也就是切矢量场。

对于一个复流形\((M,I)\)上的单参微分同胚群\(F_t\)，我们可以将\(t=0\)点的切矢量场用复参数记为： \[f_i \frac{\partial}{\partial z^i} + \bar{f}_i \frac{\partial}{\partial \bar{z}^i},\] 其中\(f_i\)与\(\bar{f}_i\)互为复共轭。给定一个切矢量场，我们可以考虑由它生成的无穷小变换\(F_t\)。根据之前的讨论，新的复结构为\(I' = dF_t \circ I \circ (dF_t)^{-1}\)，以及对应的切空间的全纯部分为： \[TM^{0,1}_t = dF_t (TM^{0,1}),\] 回忆起\(dF_t \in \Lambda M \otimes TM\)为Jacobi矩阵。坐标的无穷小变换可以写为： \[\begin{aligned} z'_i &= z_i + t f_i(z,\bar{z}) + \mathcal{O}(t^2),\nonumber \\ \bar{z}'_i &= \bar{z}_i + t \bar{f}_i(z,\bar{z}) + \mathcal{O}(t^2),\end{aligned}\] 接下来我们可以计算相应的\(\phi(t)\)，我们有： \[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \bar{z}'_i} &= \frac{\partial \bar{z}_j}{\partial \bar{z}'_i} \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} + \frac{\partial z_j}{\partial \bar{z}'_i} \frac{\partial}{\partial z_j} \nonumber \\ &= \frac{\partial}{\partial \bar{z}_i} - t \frac{\partial f_j(z,\bar{z})}{\partial \bar{z}_i} \frac{\partial}{\partial z_j},\end{aligned}\] 因此我们有 \[(\phi_1)_{ij} = - \frac{\partial f_j(z,\bar{z})}{\partial \bar{z}_i},\] 即 \[\phi_1 = \bar{\partial} \left( -f_j(z,\bar{z})\frac{\partial}{\partial z_j}\right),\] 因此为Exact的。反过来，如果\(\phi_1\)是Exact的，那么我们可以得到一个切矢量场并诱导出一个微分同胚变换，而相应的复结构\(I'\)则可以由这个微分同胚诱导的来，因此和原来的复结构等价。

结合上面的讨论，我们可以得出结论：给定一个复流形\(M\)，它的模空间的切矢量和\(TM^{1,0}\)取值的上同调群\(H^{0,1}(TM^{1,0})\)之间有一一对应的关系。或者利用Dolbeault上同调和C\(\check{\textrm{e}}\)ch上同调之间对应关系，我们也可以将上述同调群记为\(H^1(TM^{1,0})\)，此处应该将\(TM^{1,0}\)理解为\(M\)上的一个层。通常我们也将全纯部分的复切空间记为\(\mathcal{T}M\)。

接下来我们来考虑二维复流形，也就是黎曼面的模空间的维度，为此我们需要利用Grothendieck-Riemann-Rock公式。对于底流形为\(M\)一个复的矢量丛\(E\)，我们可以考虑\(M\)上的层取值的C\(\check{\textrm{e}}\)ch上同调群。原则上，这个上同调群并不好计算，我们可以考虑一个特殊不变量，即矢量丛\(E\)的欧拉数\(\chi(E) = \sum_k (-1)^k \dim H^k(E)\)，它可以利用上述所说的Grothendieck-Riemann-Rock公式来计算： \[\chi(E) = \int_M ch(E) \wedge td(E),\] 其中\(ch(E)=1+c_1(E)+c_2(E)+\cdots\)是陈类，\(td(M)=1+\frac{1}{2}c_1(M)+\cdots\)是Todd类。对于二维黎曼面来说，利用上述公式我们有： \[\begin{aligned} \dim_{\mathbb{C}}H^0(\mathcal{T}M) - \dim_{\mathbb{C}}H^1(\mathcal{T}M) &= \int_X(1+c_1(\mathcal{T}M))(1+\frac{1}{2}c_1(\mathcal{T}M)) \nonumber \\ &= \frac{3}{2}\int_M c_1(\mathcal{T}M) = 3-3g,\end{aligned}\] 其中最后一步是因为\(\int_M c_1(\mathcal{T}M) = 2-2g\)是黎曼面的欧拉示性数（注意我们谈及陈类的时候，都是对复矢量丛来谈的），因此我们有： \[\dim_{\mathbb{C}}H^1(\mathcal{T}M) = 3g-3 + \dim_{\mathbb{C}}H^0(\mathcal{T}M).\] 而后者\(H^0(\mathcal{T}M)\)对应的是黎曼面上的全局的切矢量场，这个实际上是黎曼面上的共形Killing矢量场（global共形变换的生成元，注意到二维黎曼面上共形变换等价于全纯变换）。当\(g=0\)的时候，球面上一共有六个（复三维）不等价的共形Killing矢量场，因此\(H^0(\mathcal{T}M)=3\)，模空间的维度为零；当\(g=1\)的时候，圆环面上有两个（复一维）共形Killing矢量场，因此\(H^0(\mathcal{T}M)=1\)，模空间维度为1。对于\(g>1\)的情况，\(H^0(\mathcal{T}M)=0\)，从而模空间的维度为\(3g-3\)。

1. Daniel Huybrechts, Complex Geometry: An introduction ↩︎