Sheaf
层（Sheaf）是一个很有趣的数学概念。给定一个拓扑空间\(X\)，我们可以考虑给这个拓扑空间附加一些额外的信息。比如，我们可以考虑\(X\)上的任何光滑函数，可以是定义在整个\(X\)上的，也可以是定义在\(X\)的某一个开集上的，我们可以把这些定义在开集上的光滑函数称为一个层\(\mathscr{F}\)。抽象地来说，\(\mathscr{F}\)是一个逆变的函子，它把\(X\)上的任何的开集映射到一个阿贝尔群上（并且把开集之间的映射，映射为函数在开集上的拖回映射），这个阿贝尔群就是这个开区间上光滑函数的集合。具体来说，给定一个开集\(U\subset X\)，那么\(\mathcal{F}(U)\)就是定义在这个开集\(U\)上的所有光滑函数的集合。我们知道，一个流形上的光滑函数通常满足一些额外的结构，比如两个定义在不同开集\(U\)和\(V\)上的光滑函数，如果在交集\(U \cap V\)上相同的话，那么我们总可以把这个光滑函数扩展到整个并集\(U \cup V\)上面。这是光滑函数层\(\mathscr{F}\)的一个局域性质，而层实际上也正是被这种局域性质所刻画的，在下面的讨论中我们将首先引入预层（Presheaf），然后给它附加一些额外的局域结构或者信息，从而得到层。
预层（Presheaf）
给定一个拓扑空间\(X\)，那么\(X\)上的一个预层\(\mathscr{F}\)包含如下的信息：
对于\(X\)的任何一个开集\(U\subset X\)，\(\mathscr{F}\)会把它映射为一个阿贝尔群\(\mathscr{F}(U)\)[1]。
如果\(V\subset U\)是\(U\)的一个开子集，那么存在一个"限制同态"：\(\rho_{UV} : \mathscr{F}(U) \rightarrow \mathscr{F}(V)\)，它会把\(U\)上的信息限制到\(V\)上，并且满足：
\(\mathscr{F} (\emptyset) = 0\)。
\(\rho_{UU}\)是恒等映射。
如果\(W \subset V \subset U\)的话，那么限制同态满足\(\rho_{UW} = \rho_{UV} \rho_{VW}\)。
满足上述所描述的条件，我们就可以把\(\mathscr{F}\)称为\(X\)上的一个预层。给定一个开集\(U\)，我们可以谈论预层\(\mathscr{F}\)在上面的"取值"\(\mathscr{F}(U)\)，这实际上也是一个集合，并且这个集合\(\mathscr{F}(U)\)里的任何一个元素\(\sigma\)我们称之为一个截面（Section）。如果\(V \subset U\)是一个开子集，那么\(\sigma\)可以利用限制同态\(\rho_{UV}\)限制在\(V\)上，我们记为\(\sigma_{V} \in \mathscr{F}(V)\)，也可以说\(\sigma_{V}\)是截面\(\sigma\)在\(V\)上的取值。最后，如果将\(X\)本身作为一个开集，那么\(\mathscr{F}(X)\)中的一个元素我们称之为一个整体截面（global section）。
这里谈到的的截面实际上和纤维丛中的截面是同样的东西。给定一个纤维丛\(FX\)，其中\(X\)是基底，\(F\)是基底上的纤维，我们这里假定\(F\)本身也是一个阿贝尔群（比如矢量丛）。那么我们可以谈论纤维丛\(FX\)的截面，并且对于所有开区间的截面的集合实际上就构成了一个层。纤维丛和层是初学者容易混淆的两个概念，需要注意一下，两者虽然有联系，但是并不相同。
层（Sheaf）
给定了拓扑空间\(X\)上的一个预层\(\mathscr{F}\)，如果它满足如下的额外条件，我们将称之为层：
（A）如果\(U,V \subset X\)是\(X\)的两个开子集，\(\sigma \in \mathscr{F}(U)\)与\(\tau \in \mathscr{F}(V)\)则是\(U,V\)上的两个截面。如果\(\sigma_{U \cap V} = \tau_{U \cap V}\)的话，那么一定存在\(\nu \in \mathscr{F}(U \cup V)\)使得\(\nu_U = \sigma\)以及\(\nu_V = \tau\)。
（B）如果\(U,V \subset X\)是\(X\)的两个开子集，\(\sigma \in \mathscr{F}(U \cup V)\)是\(U\cup V\)上的一个截面并且满足\(\sigma_U = \sigma_V = 0\)，那么一定有\(\sigma=0\)。
现在我们来看一下这两个条件是什么意思。条件（A）实际上是说，两个隶属于不同开集\(U\)和\(V\)的截面，只要它们在公共开集\(U \cap V\)中是相等的，那么我们总可以把这两个截面粘在一起变成在\(U\cup V\)中的一个截面，就像之前的光滑函数一样。条件（B）的意思是，比如我找到了某个开集\(U\)的一个开覆盖\(\{ U_i \}\)，如果有一个\(U\)上的截面\(\sigma \in \mathscr{F}(U)\)，并且它在任何一个开子集\(U_i\)上的取值都是零，那么只有一种可能性，那就是\(\sigma\)本身就是零。这个条件实际上也可以引申为，如果\(U\)上的两个截面\(\sigma,\tau\)在任何一个开子集\(U_i\)上的取值都相等，那么必然有\(\sigma = \tau\)。
上述这两个条件是反映的是层的局域性质：（A）使得我们可以利用小开集中的信息去粘贴出大开集的信息，也就是从小到大，（B）则使得我们可以把大开集中的信息分解到小开集之中，也就是从大到小。这使得我们可以将拓扑空间\(X\)不断地细化，去分析每个点附近的局域信息，而这些所有的局域信息加在一起则构成了完整的层，或者完整的信息。因此我们说，层是被局域信息所定义的。
两个反例
最后我们来看两个不满足上述条件（A）或（B）的预层的例子，来体会一下层与预层的区别，以及为什么说层是被局域信息所定义的。
第一个例子是所谓的常数预层（Constant Presheaf），也就是对于任何一个开集，它的截面是一个常数，这个层不满足条件（A）。比如我们考虑两个不连通的开区间\(U,V \in X\)满足\(U \cap V = \emptyset\)，考虑\(U\)上的截面\(\sigma\)和\(V\)上的截面\(\tau\)。因为\(U \cap V = \emptyset\)，所以说我们自然有\(\sigma_{U \cap V} = \tau_{U \cap V}\)，但是只有当\(\sigma\)和\(\tau\)是同一个常数的时候，我们才能够将两者粘在一起，否则粘出来的截面在\(U\)和\(V\)上会有不同的取值，因此就是不是\(U\cup V\)上的一个截面了。因此对于这个例子，如果只知道\(U\)和\(V\)中的信息，我们实际上对整体的把握仍然不够。
第二个例子要复杂一些，它不满足第二个看起来最自然不过的条件（B）。我们考虑在一个复流形\(X\)上的所有全纯函数构成的层\(\mathscr{O}\)，以及另外一个由所有处处不为零的全纯函数构成的层\(\mathscr{O}^*\)[2]。接下来我们考虑指数映射\(\exp\)，很明显对于任何一个全纯函数\(f\)，\(\exp f\)仍然是全纯函数，并且处处不为零，因此我们有映射： \[\exp: \mathscr{O} \rightarrow \mathscr{O}^*.\] 接下来我们可以考虑上述映射的余核（Cokernel）coker(\(\exp\))，也就是所有不能够写成一个全纯函数的指数的，处处非零的全纯函数。实际上容易发现，coker(\(\exp\))恰恰就是一个不满足条件（B）的预层。比如说，我们考虑\(X=\mathbf{C}^{*}\)是去掉了原点的整个复平面，其复坐标是\(z\)。那么\(z\)本身就是一个处处不为零的全纯函数，因此\(z \in \mathscr{O}^{*}(\mathbf{C}^{*})\)是层\(\mathscr{O}^*\)的一个截面，并且\(\log z\)则并不是在\(\mathbf{C}^*\)上整体定义的全纯函数，因为\(z\)绕原点转一圈会出来一个额外的\(2\pi i\)的相位。因此我们有\(z \in \textrm{Ker}(\exp)(\mathbf{C}^*)\)，也就是预层\(\textrm{Ker}(\exp)(\mathbf{C}^*)\)的一个（不为零）截面。然后我们可以考虑两个开集\(U,V\)，比如让\(U\)包含\(\mathbf{C}^*\)中所有相位\(\textrm{arg}(z)\)在\((-\epsilon , 3/2 \pi)\)的点，而\(V\)包含\(\mathbf{C}^*\)中所有相位\(\textrm{arg}(z)\)在\((+\epsilon ,- 3/2 \pi)\)的点，其中\(\epsilon\)是一个小量，那么显然\(\mathbf{C}^* = U \cup V\)。但是当我们尝试把\(z \in \textrm{Ker}(\exp)(\mathbf{C}^*)\)分解到两个开集\(U\)和\(V\)上的时候，我们会发现在\(U\)和\(V\)上\(\log z\)都是可以整体定义的，因为\(U,V\)中都不包含任何一个绕原点的回路，因此不会出现相位无法确定的问题，这也就意味着\(z_U = z_V = 0\)但是\(z\)本身不为零，也就违反了条件（B）。因此对于这个例子，如果只知道\(U\)和\(V\)中的信息，我们同样对整体的把握仍然不够。