霍普夫映射与四元数
霍普夫映射(Hopf map)
霍普夫映射是一个四维球面到三维球面的一个映射\(h:S^3 \rightarrow S^2\)满足： \[h(a,b,c,d) = (a^2 + b^2 -c^2 -d^2 , 2(ad +bc), 2(bd - ac)),\] 其中\((a,b,c,d)\)是四维单位球面上的坐标，满足\(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1\)，并且不难验证作为像的三维坐标\((a^2 + b^2 -c^2 -d^2 , 2(ad +bc), 2(bd - ac))\)同样是位于三维单位球面上的。为了更好地理解霍普夫映射以及霍普夫纤维化，我们需要引入一种更好的刻画四维球面的方法，即所谓的四元数。
四元数
在四维欧式空间\(\mathbb{R}^4\)里，考虑任何一个四维矢量\((a,b,c,d)\)（这里暂不要求是单位矢量），我们可以将其写为： \[r \equiv a + b I + c J + d K = (a + b I) + (c + d I) J,\] 其中\(I\)是我们常用的虚数单位，而\(J,K\)则是另外引入的两个新的虚数单位，它们三者之间满足如下的代数关系： \[\left\{ \begin{array}{l} I^2 = J^2 = K^2 = -1\\ IJ = - JI = K,\\ JK=-KJ = I,\\ KI = -IK = J \end{array} \right.\] 任何一个四元数\(r = a + b I + c J + d K\)的复共轭为： \[\bar{r} = a - b I - c J - d K,\] 最后\(r\)的模长定义为： \[ |r| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} = \sqrt{r \bar{r}}, \] 利用模长，任何一个四元数\(r\)的倒数可以记为： \[r^{-1} = \frac{\bar{r}}{|r|^2},\] 最后值得一提的是，四元数的运算满足结合律，但并不一定满足交换律。
利用四元数，我们可以考虑三维欧式空间\(\mathcal{R}^3\)上的一个线性映射。对于三维欧式空间中的任意一个点\((x,y,z)\)我们可以将其看做一个四元数\(x I + y J + z K\)。对于任意给定的四元数\(r\)，我们可以考虑如下映射： \[R_r (x,y,z) = r \cdot (x I + y J + z K)\cdot r^{-1}.\] 接下来我们直接记三维欧式空间中的点\(x I + y J + z K\)为\(p\)。这个映射有如下的性质：
\(R_r\)是一个线性映射。
\(R_r\)保持四元数\(p\)的模长：\(|r p r^{-1}| = |r|\cdot |p| \cdot |r^{-1}| = |p|\)。
对于任意实数\(u\)，\(R_{ur} = R_r\)。
从第二点我们可以大致猜测，如果\(r\neq 0\)的话，我们可以将\(R_r\)视为三维欧式空间\(\mathcal{R}^3\)中的一个转动，转动轴和转动角度可以用如下方式确定下来：
首先，我们可以利用\(R_{ur} = R_r\)将四元数\(r\)的模长设置为单位值：\(|r|=1\)。
如果\(r=\pm 1\)的话，那么很容易看出这个转动是平凡的转动，也就是单位映射。
记\(r = a + b I + c J + d K\)（我们已经令\(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1\)），转动轴的方向与三维矢量\((b,c,d)\)同方向，并且转动的角度\(\theta\)为：\(\theta = 2 \cos^{-1}(a) = 2 \sin^{-1}\left( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\right)\)。
实际上，我们可以很容易验证转动轴\((b,c,d)\)作为一个三维矢量在上述转动下保持不变: \[R_r (b,c,d) = r \cdot (b I + c J + d K) \cdot r^{-1} = b I + c J + d K.\] 最后，如果\(r\)和\(s\)为两个四元数，那么上述映射\(R\)满足同态关系： \[R_r \circ R_s = R_{rs},\] 因此两个转动的叠加可以利用四元数写为两个相应四元数的乘法，这个是利用四元数描述三维转动的简单之处。
如果读者熟悉群论，那么上述映射\(R\)实际上可以看作由单位四维球面\(S^3\)到三维转动群SO(3)上的一个映射： \[R: S^3 \rightarrow \textrm{SO}(3),\] 并且这个映射是一个同态映射。映射的核（Kernel）为： \[\textrm{Ker} (R) = \{1,-1\},\] 那么由同态映射的基本定理，转动群SO(3)可以写为： \[\textrm{SO}(3) \cong S^3 / \{ 1,-1\},\] 实际上这也正是三维的实投影平面\(\mathbb{R}\mathbb{P}_3\)。这个就是SO(3)群作为一个流形的拓扑结构。